카이제곱-검정

- 각 변수(범주형)에 대한 집단의 분포가 독립인지를 검정
- 관찰도수와 기대도수의 차를 이용하여 카이제곱값을 구하여 검정

: 성별에 따라 차이가 나지 않는다면, 남성, 여성의 구별 없이 구매집단은 50명의 75%인 37.5명, 비구매집단은 50명의 25%인 12.5명 정도로 기대할 수 있다. 카이제곱검정은 관측도수와 기대도수의 차이를 통해 변수사이의 독립성을 검정한다. (즉, 성별과 구매여부가 독립인가를 검정 )

가설

• $H_0$ : 성별과 구매여부는 연관성이 없다. (=독립이다.)
  
• $H_1$ : 성별과 구매여부는 연관성이 있다. (=독립이 아니다.)
  

검정통계량

• $O : $ 관측도수
  
• $E : $ 기대도수
  

자유도

• $ncol : $ colunm의 개수 (합계 미포함)
• $nrow : $ row의 개수 (합계 미포함)

각 셀에 기대빈도를 표현한 표는 아래와 같다.

• 검정통계량
  $\chi^2 = \sum\frac{(O-E)^2}{E} = \frac{(30-37.5)^2}{37.5}+\frac{(20-12.5)^2}{12.5}+\frac{(45-37.5)^2}{37.5}+\frac{(5-12.5)^2}{12.5}=10.453$

• 자유도
  $d.f = (ncol-1)(nrow-1) = (2-1)(2-1) = 1$

• p-value
  $p = Pr[X \geq \chi^2] = Pr[X \geq 12] = 0.000532$

: 유의수준 0.05에서 귀무가설을 기각, 대립가설(성별과 구매여부는 독립이 아니다. 성별에 따른 구매여부의 분포가 차이가 있다.)를 채택

예제 R 코드

T-검정

• 일표본 T-검정(One sample T-test)
  : 같은 모집단에서 추출된 샘플을 통해, 모집단의 평균이 특정 상수와 같은지를 검정
  
• 독립 표본 T-검정(Two sample T-test)
  : 두 모집단에서 추출된 샘플을 통해, 두 그룹의 모평균의 차가 특정한 상수와 같은지를 검정
  
• 대응 표본 T-검정(Paired sample T-test)
  : 대응되는 두 모집단에서 추출된 샘플을 통해, 대응 표본의 모평균의 차가 특정한 상수와 같은지를 검정
  

Point1. 검정하고자 하는 대상에 따라 T-검정의 방법이 다르며,
     평균이 주 관심사이기 때문에 반응변수는 연속형이다.
Point2. “모집단의 분포는 정규분포이다.” 가정

일표본 T-검정

가설

• $H_0$ : 스타벅스 자바 칩 프라푸치노 = 340. ($\mu = 340$)
• $H_1$ : 스타벅스 자바 칩 프라푸치노 ≠ 340. ($\mu ≠ 340$)

검정통계량

• $\bar{X} : $ 표본 평균 - 랜덤으로 선택된 자바 칩 프라푸치노의 평균 칼로리
  
• $\mu : $ 모평균 - 340
  
• $s : $ : 표준편차
  
• $n : $ : 관측치 개수 - 50
  

예제 R 코드

- t.test(x=starbucks1, mu=340, alternative=”two.sided”)
: 검정통계량 t=0.2628, p-value=0.7938, 유의수준 0.05에서 귀무가설 채택, 대립가설 기각

- t.test(x=starbucks2, mu=340, alternative=”two.sided”)
: 검정통계량 t=8.9528, p-value=<.0001, 유의수준 0.05에서 귀무가설 기각, 대립가설 채택

독립 표본 T-검정

가설

• $H_0$ : 스타벅스 초콜릿 크림 칩 프라푸치노 - 이디야 초콜릿 칩 플랫치노 = 14. ($\mu_1-\mu_2 = 14$)
• $H_1$ : 스타벅스 초콜릿 크림 칩 프라푸치노 - 이디야 초콜릿 칩 플랫치노 ≠ 14. ($\mu_1-\mu_2 ≠ 14$)

검정통계량

• $\bar{X} : $ 표본 평균 - $\bar{X_1}$ : 스타벅스 초콜릿 크림 칩 프라푸치노의 평균,
         $\bar{X_2}$ : 이디야 플랫치노의 평균
  
• $c : $ 모평균의 차를 비교할 특정 상수 - 14
  
• $s : $ 표준 편차
• $n : $ 관측치 개수 - $n_{1} = n_{2}$ : 50
  

예제 R 코드

- t.test(x=ediya1, y=starbucks, mu=14, alternative=”two.sided”)
: 검정통계량 t=0.61157, p-value=0.5422, 유의수준 0.05에서 귀무가설 채택, 대립가설 기각

- t.test(x=ediya2, y=starbucks, mu=14, alternative=”two.sided”)
: 검정통계량 t=-16.116, p-value=<.0001, 유의수준 0.05에서 귀무가설 기각, 대립가설 채택

대응 표본 T-검정

※ 대응 표본 T-검정은 표본이 짝지어 있으므로, 대응 개체의 차이가 독립된 하나의 표본이 될 수 있다 (ex. A학생의 사후 점수 - A학생의 사전 점수 = A학생의 사전, 사후 점수의 차).
즉, 일표본 T-검정과 같다.

가설

• $H_0$ : 수업 후 - 수업 전 = 점수차 = 0, 토론수업의 효과가 없다. ($\mu_{after}-\mu_{before} = d = 0$)
  
• $H_1$ : 수업 후 - 수업 전 = 점수차 > 0, 토론수업의 효과가 있다. ($\mu_{after}-\mu_{before} = d > 0$)
  

검정통계량

• $\bar{D} : $ 대응표본 차이의 평균 - 점수차이의 평균
  
• $d : $ 모평균 차이 - 0
  
• $s : $ : 차이의 표준편차
  
• $n : $ : 관측치 개수 - 50
  

예제 R 코드

- t.test(x=after, y=before, mu=0, alternative=”greater”, paired=TRUE)
- t.test(x=diff, mu=0, alternative=”greater”)
: 검정통계량 t=14.568, p-value=<.0001, 유의수준 0.05에서 귀무가설 기각, 대립가설 채택

독립변수 & 종속변수

• 독립변수(Independent variable)
  = 설명변수(Explanatory variable), 예측변수(Predictor variable), 위험인자(Risk factor)
  : 연구자가 의도적으로 변화시키는 변수로, 입렵값이나 원인을 나타낸다.
  

• 종속변수(Dependent variable)
  = 반응변수(Response variable), 결과변수(Outcome variable), 표적변수(Target variable)
  : 독립변수의 변화에 따라 어떻게 변하는지 알고 싶어하는 변수로, 결과나 효과를 나타낸다.
  

귀무가설 & 대립가설

• 귀무가설(Null hypothesis, $H_0$)
  : 증명하고자 하는 실험과 반대되는 입장, 증명되기 전까지는 효과도 없고 차이도 없다는 영가설

• 대립가설(Alternative hypothesis, $H_{1}$)
  : 귀무가설의 반대로, 연구자가 실험을 통해 규명하고자 하는 가설

  Ex)
  - $H_0$ : 새로운 신약은 알레르기에 효과가 없다.
  - $H_1$ : 새로운 신약은 알레르기에 효과가 있다.
  

모집단 & 표본집단 / 모수 & 통계량

• 모집단(Population)
  : 어떤 정보를 얻고자 하는 전체 대상 또는 전체 집합

• 표본집단(Sample)
  : 모집단으로 부터 추출된 모집단의 부분 집합

• 모수(Parameter)
  : 모집단의 특성을 수치로 나타낸 값 (ex. 평균 $\mu$, 분산 $\sigma^2$)

• 통계량(Statistic)
  : 표본의 특성을 수치로 나타낸 값 (ex. 표본 평균 $\hat{\mu} = \bar{X}$, 표본 분산 $\hat{\sigma^2} = s^2$)
  ※ hat 기호는 추정량을 뜻한다.

일반적으로, 전수조사가 아닌 이상 모집단에서 모수를 구하기가 어렵다. 결국, 데이터 분석의 목적은 표본집단에서 통계량을 구해 모집단의 모수를 추론하는 것이다.

가설·검정

: 문제를 인식하여 가설(hypothesis)를 세우고, 이를 확인하는 과정을 검정(test)라고 한다. 가설·검정을 할 때, 위의 상황처럼 고려할 사항들이 몇가지 있다.

가설(hypothesis)

• $H_0$ : A학교 1학년의 평균키는 162.0cm 이다. ($\mu_1 = 162.0$)
• $H_1$ : A학교 1학년의 평균키는 162.0cm 보다 크다. ($\mu_1 > 162.0$)

검정(test)

• 기각역(rejection region, $\alpha$)
  : 귀무가설이 맞다는 가정하에, 귀무가설이 틀리다고 할 기준 영역
  (즉, 관측된 통계량이 기각역에 포함되면 귀무가설 기각, 대립가설 채택)
  
• 채택역($1-\alpha$)
  : 귀무가설이 맞다는 가정하에, 귀무가설이 맞다고 할 기준 영역
  (즉, 관측된 통계량이 채택역에 포함되면 귀무가설 채택, 대립가설 기각)
  
• 유의확률(p-value)
  : 귀무가설이 맞다는 전제하에, 관측된 통계량과 같거나 더욱 극단적인 통계량이 나올 확률
  (즉, 기각역보다 유의확률이 작다면, 귀무가설 기각, 대립가설 채택)

기각역과 채택역은 분석가가 조정하는 부분이며, 유의확률은 자료로부터 계산된다.